From 8cd77c750c8b77047beac51a4e1a341600422056 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: sotech117 Date: Thu, 22 Feb 2024 03:14:48 -0500 Subject: finish problem 3 - almost done with problem 4 --- hw3/Hamiltonian.jl | 175 + hw3/Lorenz.jl | 80 +- hw3/bifurcation-diagram.png | Bin 0 -> 103993 bytes hw3/convex_hulls.png | Bin 0 -> 32512 bytes hw3/double_pendulum.png | Bin 0 -> 672371 bytes hw3/double_pendulum.svg | 129400 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ hw3/l2.jl | 72 + hw3/test10.png | Bin 0 -> 125599 bytes hw3/test11.png | Bin 0 -> 88546 bytes hw3/test3.png | Bin 0 -> 48240 bytes hw3/test4.png | Bin 0 -> 58016 bytes hw3/test5.png | Bin 0 -> 75016 bytes hw3/test6.png | Bin 0 -> 115653 bytes hw3/test8.png | Bin 0 -> 35225 bytes hw3/test9.png | Bin 0 -> 37720 bytes 15 files changed, 129691 insertions(+), 36 deletions(-) create mode 100644 hw3/Hamiltonian.jl create mode 100644 hw3/bifurcation-diagram.png create mode 100644 hw3/convex_hulls.png create mode 100644 hw3/double_pendulum.png create mode 100644 hw3/double_pendulum.svg create mode 100644 hw3/l2.jl create mode 100644 hw3/test10.png create mode 100644 hw3/test11.png create mode 100644 hw3/test3.png create mode 100644 hw3/test4.png create mode 100644 hw3/test5.png create mode 100644 hw3/test6.png create mode 100644 hw3/test8.png create mode 100644 hw3/test9.png diff --git a/hw3/Hamiltonian.jl b/hw3/Hamiltonian.jl new file mode 100644 index 0000000..bc8f31a --- /dev/null +++ b/hw3/Hamiltonian.jl @@ -0,0 +1,175 @@ +using DifferentialEquations +using Plots +using Polyhedra # for finding the volume of the phase-space ensemble +import CDDLib +lib = CDDLib.Library() + +g = 9.8 +sim_time = 100.0 + +function tendency!(du, u, p, t) + q_1, q_2, p_1, p_2 = u + g = p + + denominator = 1.0 + (sin(q_1 - q_2)*sin(q_1 - q_2)) + + dq_1 = (p_1 - p_2 * cos(q_1 - q_2)) / denominator + dq_2 = (-p_1*cos(q_1 - q_2) + 2*p_2) / denominator + + k_1 = p_1*p_2*sin(q_1 - q_2) / denominator + k_2 = sin(2*(q_1 - q_2)) * (p_1*p_1 + 2*p_2*p_2 - 2*p_1*p_2*cos(q_1 - q_2)) / (2*denominator*denominator) + + dp_1 = -2 * sin(q_1) - k_1 + k_2 + dp_2 = - sin(q_2) + k_1 - k_2 + + du[1] = dq_1 + du[2] = dq_2 + du[3] = dp_1 + du[4] = dp_2 +end + +function energy(u, p) + q_1, q_2, p_1, p_2 = u + g = p + + T = 0.5 * (p_1*p_1 + p_2*p_2) + V = - 2 * cos(q_1) - cos(q_2) + return T + V +end + +function build_ensemble(q_start, q_end, p_start, p_end, n) + q_1s = [] + q_2s = [] + p_1s = [] + p_2s = [] + for i in 1:n + q_1 = q_start + (q_end - q_start) * rand() + q_2 = q_start + (q_end - q_start) * rand() + p_1 = p_start + (p_end - p_start) * rand() + p_2 = p_start + (p_end - p_start) * rand() + push!(q_1s, q_1) + push!(q_2s, q_2) + push!(p_1s, p_1) + push!(p_2s, p_2) + end + + return [q_1s, q_2s, p_1s, p_2s] +end + +# take a list and reduce theta to the interval [-π, π] +function clean_θ(θ::Vector{Float64}) + rθ = [] + for i in 1:length(θ) + tmp = θ[i] % (2 * π) + if tmp > π + tmp = tmp - 2 * π + elseif tmp < -π + tmp = tmp + 2 * π + end + push!(rθ, tmp) + end + return rθ +end + +function run_simulation(u_0, tspan, p) + prob = ODEProblem(tendency!, u_0, tspan, p) + sol = solve(prob, Tsit5(), reltol=1e-8, abstol=1e-8) # control simulation + sol[1, :] = clean_θ(sol[1, :]) + sol[2, :] = clean_θ(sol[2, :]) + return sol +end + +function return_convex_hull(ensemble, library) + # plot the first phase space + vertices = zeros(length(ensemble[1]), 4) + for i in 1:length(ensemble[1]) + vertices[i, 1] = ensemble[1][i] + vertices[i, 2] = ensemble[2][i] + vertices[i, 3] = ensemble[3][i] + vertices[i, 4] = ensemble[4][i] + end + v_1 = vrep(vertices) + p_1 = polyhedron(v_1, library) + vol_1 = Polyhedra.volume(p_1) + + return p_1, vol_1 +end + +# returns the new ensemble after t_span time +function simulate_ensembles(ensemble, tspan, p) + q_1s = [] + q_2s = [] + p_1s = [] + p_2s = [] + for i in 1:length(ensemble[1]) + u_0 = [ensemble[1][i], ensemble[2][i], ensemble[3][i], ensemble[4][i]] + println("init cond" ,u_0) + sol = run_simulation(u_0, tspan, p) + q_1s = sol[1, :] + q_2s = sol[2, :] + p_1s = sol[3, :] + p_2s = sol[4, :] + + push!(q_1s, q_1s[end]) + push!(q_2s, q_2s[end]) + push!(p_1s, p_1s[end]) + push!(p_2s, p_2s[end]) + end + + return [q_1s, q_2s, p_1s, p_2s] +end + +function calculate_ensemble_volume(ensemble) + dΓ = 1; + for i in 1:length(ensemble[1]) + dΓ *= (ensemble[1][i]) * (ensemble[2][i]) * (ensemble[3][i]) * ensemble[4][i] + end + return dΓ +end + +# PROBLEM 1 -> show that two systems with the same intial energy can have different chaotic results +# u_1_0 = [0, 0, 6.26, 0.0] +# u_2_0 = [0.0, 0.0, 0.0, 6.26] + +# # print the initial energies +# println("energy 1 = ", energy(u_1_0, p)) +# println("energy 2 = ", energy(u_2_0, p)) + +# sol_1 = run_simulation(u_1_0, tspan, p) +# sol_2 = run_simulation(u_2_0, tspan, p) + +# # plot the phase space +# p1 = scatter(sol_1[1, :], sol_1[3, :], label="q_1", xlabel="q_1 (radians)", ylabel="p_1 (momentum)", title="Phase Space i=1 for Pendulum 1", legend=false, color=:blue, msw=0, ms=.75) +# p2 = scatter(sol_2[1, :], sol_2[3, :], label="q_2", xlabel="q_1 (radians)", ylabel="p_1 (momentum)", title="Phase Space i=1 for Pendulum 2", legend=false, color=:red, msw=0, ms=.75) + +# # plot the other phase space +# p3 = scatter(sol_1[2, :], sol_1[4, :], label="q_1", xlabel="q_2 (radians)", ylabel="p_2 (momentum)", title="Phase Space i=2 for Pendulum 1", legend=false, color=:blue, msw=0, ms=.75) +# p4 = scatter(sol_2[2, :], sol_2[4, :], label="q_2", xlabel="q_2 (radians)", ylabel="p_2 (momentum)", title="Phase Space i=2 for Pendulum 2", legend=false, color=:red, msw=0, ms=.75) + +# # plot the trajectories +# p5 = scatter(sol_1[1, :], sol_1[2, :], label="q_1 (radians)", xlabel="q_1 (radians)", ylabel="q_2 (radians)", title="Relative Trajectory for Pend1", legend=false, color=:blue, msw=0, ms=.75) +# p6 = scatter(sol_2[1, :], sol_2[2, :], label="q_2 (radians)", xlabel="q_1 (radians)", ylabel="q_2 (radians)", title="Relative Trajectory for Pend2", legend=false, color=:red, msw=0, ms=.75) + +# # plot the trajectories over time +# p7 = plot(sol_1.t, sol_1[1, :], label="pendulum 1", xlabel="time (s)", ylabel="q_1 (radians)", title="q_1 vs time", legend=:topright) +# plot!(p7, sol_2.t, sol_2[1, :], label="pendulum 2", xlabel="time (s)", ylabel="q_1 (radians)", title="q_1 vs time") + +# p8 = plot(sol_1.t, sol_1[2, :], label="pendulum 1", xlabel="time (s)", ylabel="q_2 (radians)", title="q_2 vs time", legend=:topright) +# plot!(p8, sol_2.t, sol_2[2, :], label="pendulum 2", xlabel="time (s)", ylabel="q_2 (radians)", title="q_2 vs time") + +# plot(p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, layout=(4, 2), size=(1000, 1000)) + +# savefig("hw3/double_pendulum.png") + +# PROBLEM 2 -> show that the volume of the phase space is conserved + +# plot the initial ensemble in each phase space +ensemble = build_ensemble(0.0, pi, -1.0, 2.0, 10) +println("4d volume before = ", return_convex_hull(ensemble, lib)[2]) + +# simulate the ensemble +new_ensemble = simulate_ensembles(ensemble, tspan, p) +println("4d volume after = ", return_convex_hull(new_ensemble, lib)[2]) + +# println("energy before = ", energy(ensemble, p)) +# println("volume before = ", calculate_ensemble_volume(ensemble)) diff --git a/hw3/Lorenz.jl b/hw3/Lorenz.jl index c4c501d..4a7fa0e 100644 --- a/hw3/Lorenz.jl +++ b/hw3/Lorenz.jl @@ -2,7 +2,7 @@ using DifferentialEquations using Plots r_max = 160 -r_steps = 320 +dr = .01 sim_time = 1000.0 @@ -19,49 +19,57 @@ end # make a linspace for these values of r +r_steps = Int(r_max/dr) r_values = range(0, r_max, length=r_steps) -sols = [] -for i in 1:r_steps - r = r_values[i] - p = [10.0, r, 8/3] # parameters of the Lorentz 63 system - tspan = (0.0, sim_time) - - u0 = [1.0, 0.0, 0.0] - prob = ODEProblem(tendency!, u0, tspan, p) - sol = solve(prob, Tsit5(), reltol=1e-8, abstol=1e-8) # control simulation - - push!(sols, sol) - - println("r=$r") -end - -# STEP 2, map data to arrays where plane crosses the x-axis r_maxes = [] z_maxes = [] r_mins = [] z_mins = [] -for i in 1:r_steps - println("i: ", length(sols[i].t)) - z_values = sols[i][3, :] - # iterate over to find the local maxima and minima - # take off the first 300 values to avoid transient - for j in 301:length(z_values)-1 - if z_values[j] > z_values[j-1] && z_values[j] > z_values[j+1] - push!(r_maxes, r_values[i]) - push!(z_maxes, z_values[j]) +let + r_diverge_1 = -1 + for i in 1:r_steps + r = r_values[i] + p = [10.0, r, 8/3] # parameters of the Lorentz 63 system + tspan = (0.0, sim_time) + + u0 = [1.0, 0.0, 0.0] + prob = ODEProblem(tendency!, u0, tspan, p) + sol = solve(prob, Tsit5(), reltol=1e-8, abstol=1e-8) # control simulation + + # iterate over to find the local maxima and minima + z_values = sol[3, :] + + # take off the first 300 values to avoid transient + for j in 301:length(z_values)-1 + if z_values[j] > z_values[j-1] && z_values[j] > z_values[j+1] + push!(r_maxes, r_values[i]) + push!(z_maxes, z_values[j]) + end + if z_values[j] < z_values[j-1] && z_values[j] < z_values[j+1] + push!(r_mins, r_values[i]) + push!(z_mins, z_values[j]) + end + + # calcualte dz + # if r_diverge_1 < 0 && length(z_mins) > 1 && length(z_maxes) > 1 && abs(z_mins[end] - z_maxes[end]) > 20.0 + # r_diverge_1 = r + # println("Divergence starts at r = $r") + # end end - if z_values[j] < z_values[j-1] && z_values[j] < z_values[j+1] - push!(r_mins, r_values[i]) - push!(z_mins, z_values[j]) + + if i % 500 == 0 + println("r=$r") end end -end -# println("r_maxes: ", r_maxes) -# println("z_maxes: ", z_maxes) + plt = plot(r_maxes, z_maxes, seriestype=:scatter, mc=:blue, ms=.25, ma=.25, msw=0, xlabel="r", ylabel="z", title="Bifurcation Diagram for Lorenz 63 System", legend=:topleft, grid=:true, label="Local Maxima") + plot!(r_mins, z_mins, seriestype=:scatter, mc=:green, ms=.25, ma=.25, msw=0, xlabel="r", ylabel="z", label="Local Minima") + + # r_diverge_display = round(r_diverge_1, digits=3) + vline!([24], label="Critical r value ≈ 24", lc=:red, lw=1.5, ls=:dash) + vline!([122], label="Critical r value ≈ 122", lc=:orange, lw=1.5, ls=:dash) + vline!([146], label="Critical r value ≈ 146", lc=:purple, lw=1.5, ls=:dash) -# STEP 3, plot the bifurcation diagram -plot(r_maxes, z_maxes, seriestype = :scatter, mc=:blue, ms=.25, ma=0.25, label="Maxima") -plot!(r_mins, z_mins, seriestype = :scatter, mc=:green, ms=.25, ma=0.25, label="Minima") -savefig("hw3/test3.png") \ No newline at end of file + savefig("hw3/test11.png") +end \ No newline at end of file diff --git a/hw3/bifurcation-diagram.png b/hw3/bifurcation-diagram.png new file mode 100644 index 0000000..d25e306 Binary files /dev/null and b/hw3/bifurcation-diagram.png differ diff --git a/hw3/convex_hulls.png b/hw3/convex_hulls.png new file mode 100644 index 0000000..c0fcf6c Binary files /dev/null and b/hw3/convex_hulls.png differ diff --git a/hw3/double_pendulum.png b/hw3/double_pendulum.png new file mode 100644 index 0000000..e95959a Binary files /dev/null and b/hw3/double_pendulum.png differ diff --git a/hw3/double_pendulum.svg b/hw3/double_pendulum.svg new file mode 100644 index 0000000..32757b3 --- /dev/null +++ b/hw3/double_pendulum.svg @@ -0,0 +1,129400 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 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+ + \ No newline at end of file diff --git a/hw3/l2.jl b/hw3/l2.jl new file mode 100644 index 0000000..64a9cc0 --- /dev/null +++ b/hw3/l2.jl @@ -0,0 +1,72 @@ +using DifferentialEquations +using Plots + +r_max = 250 +dr = 5 + +sim_time = 750.0 + +# STEP 1, go over each value of r and store the results +# Simulate Lorenz 63 system and investigate sensitivity to initial conditions +function tendency!(du, u, p, t) + x,y,z = u + σ,ρ,β = p + + du[1] = dx = σ*(y-x) + du[2] = dy = x*(ρ-z) - y + du[3] = dz = x*y - β*z +end + + +# make a linspace for these values of r +r_steps = Int(r_max/dr) +r_values = range(0, r_max, length=r_steps) +r_maxes = [] +z_maxes = [] +r_mins = [] +z_mins = [] +let + r_diverge_1 = -1 + for i in 1:r_steps + r = r_values[i] + p = [10.0, r, 8/3] # parameters of the Lorentz 63 system + tspan = (0.0, sim_time) + + u0 = [1.0, 0.0, 0.0] + prob = ODEProblem(tendency!, u0, tspan, p) + sol = solve(prob, Tsit5(), reltol=1e-8, abstol=1e-8) # control simulation + + # iterate over to find the local maxima and minima + z_values = sol[3, :] + + # take off the first 300 values to avoid transient + for j in 301:length(z_values)-1 + if z_values[j] > z_values[j-1] && z_values[j] > z_values[j+1] + push!(r_maxes, r_values[i]) + push!(z_maxes, z_values[j]) + end + if z_values[j] < z_values[j-1] && z_values[j] < z_values[j+1] + push!(r_mins, r_values[i]) + push!(z_mins, z_values[j]) + end + + # calcualte dz + if r_diverge_1 < 0 && length(z_mins) > 1 && length(z_maxes) > 1 && abs(z_mins[end] - z_maxes[end]) > 20.0 + r_diverge_1 = r + println("Divergence starts at r = $r") + end + end + + if i % 10 == 0 + println("r=$r") + end + end + + plt = plot(r_maxes, z_maxes, seriestype=:scatter, mc=:blue, ms=.25, ma=.5, msw=0, xlabel="r", ylabel="z", title="Bifurcation Diagram for Lorenz 63 System", legend=:topleft, grid=:true, label="Local Maxima") + plot!(r_mins, z_mins, seriestype=:scatter, mc=:green, ms=.25, ma=.5, msw=0, xlabel="r", ylabel="z", label="Local Minima") + + r_diverge_display = round(r_diverge_1, digits=3) + vline!([r_diverge_1], label="Critical r value=$r_diverge_display", lc=:red, lw=1.5, ls=:dash) + + savefig("hw3/test9.png") +end \ No newline at end of file diff --git a/hw3/test10.png b/hw3/test10.png new file mode 100644 index 0000000..29600b1 Binary files /dev/null and b/hw3/test10.png differ diff --git a/hw3/test11.png b/hw3/test11.png new file mode 100644 index 0000000..6482e23 Binary files /dev/null and b/hw3/test11.png differ diff --git a/hw3/test3.png b/hw3/test3.png new file mode 100644 index 0000000..fe32164 Binary files /dev/null and b/hw3/test3.png differ diff --git a/hw3/test4.png b/hw3/test4.png new file mode 100644 index 0000000..5505d7d Binary files /dev/null and b/hw3/test4.png differ diff --git a/hw3/test5.png b/hw3/test5.png new file mode 100644 index 0000000..9b273e7 Binary files /dev/null and b/hw3/test5.png differ diff --git a/hw3/test6.png b/hw3/test6.png new file mode 100644 index 0000000..43b0772 Binary files /dev/null and b/hw3/test6.png differ diff --git a/hw3/test8.png b/hw3/test8.png new file mode 100644 index 0000000..600257c Binary files /dev/null and b/hw3/test8.png differ diff --git a/hw3/test9.png b/hw3/test9.png new file mode 100644 index 0000000..83e6230 Binary files /dev/null and b/hw3/test9.png differ -- cgit v1.2.3-70-g09d2