From d21625a3cd9677c4d2ee817298e7625e99667c9c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: sotech117 Date: Wed, 21 Feb 2024 12:19:28 -0500 Subject: finish first 3 problems - codewise --- hw3/3-13.jl | 71 + hw3/DrivenPendulum.jl | 62 +- hw3/Lorenz.jl | 59 +- hw3/d-theta-over-time.svg | 45 + hw3/poincare-sections.svg | 62900 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ hw3/t.jl | 81 + hw3/test.png | Bin 0 -> 129248 bytes hw3/test2.png | Bin 0 -> 141242 bytes 8 files changed, 63195 insertions(+), 23 deletions(-) create mode 100644 hw3/3-13.jl create mode 100644 hw3/d-theta-over-time.svg create mode 100644 hw3/poincare-sections.svg create mode 100644 hw3/t.jl create mode 100644 hw3/test.png create mode 100644 hw3/test2.png diff --git a/hw3/3-13.jl b/hw3/3-13.jl new file mode 100644 index 0000000..aacfa44 --- /dev/null +++ b/hw3/3-13.jl @@ -0,0 +1,71 @@ +#!/Applications/Julia-1.8.app/Contents/Resources/julia/bin/julia + +# Simulate driven pendulum to find chaotic regime + +using Plots # for plotting trajectory + +ω0 = 1.0 # ω0^2 = g/l +β = 0.5 # β = friction +f = 1.2 # forcing amplitude +Ω_D = .66667 # forcing frequency +param = (ω0, β, f, Ω_D) # parameters of anharmonic oscillator +dt = 0.001 # time step +t_final = 150.0 # final time of simulation + +function dynamics!(θ::Vector{Float64}, ω::Vector{Float64}, t::Vector{Float64}, Δt, param, steps) + (ω0, β, f, Ω_D) = param + + for i in 1:steps + dω = -ω0^2 * sin(θ[end]) - β * ω[end] + f * forcing(t[end], Ω_D) # acceleration with m = 1 + push!(ω, dω*dt + ω[end]) + + # euler-cromer method, using next ω + dθ = ω[end] + push!(θ, dθ*dt + θ[end]) + + push!(t, t[end] + Δt) + end +end + +function forcing(t::Float64, ω::Float64) + return sin(ω * t) +end + +function do_simulation(θ0, p0, t_final, Δt, param) + θs = [θ0] + ωs = [p0] + ts = [0.0] + steps = Int64(t_final/dt) # number of time steps + dynamics!(θs, ωs, ts, Δt, param, steps) + return (θs, ωs, ts) +end + +(θ_1, _, t_1) = do_simulation(0.2, 0.0, t_final, dt, param) +(θ_2, _, t_2) = do_simulation(0.2001, 0.0, t_final, dt, param) + +# absolute difference the two simulations thetas +function abs_diff(θ1, θ2) + diff = zeros(length(θ1)) + for i in 1:length(θ1) + diff[i] = abs(θ1[i] - θ2[i]) + end + return diff +end + +diff = abs_diff(θ_1, θ_2) +plot(t_1, diff, yscale=:ln, xlabel="time (s)", ylabel="Δθ (radians)", title="Δθ vs time", legend=:bottomright, lw=2, label="|θ_1 - θ_2|") + +function linear_regression(x, y) + n = length(x) + x̄ = sum(x) / n + ȳ = sum(y) / n + a = sum((x .- x̄) .* (y .- ȳ)) / sum((x .- x̄).^2) + b = ȳ - a * x̄ + return (a, b) +end + +# linear regression of the log of the difference +(a, b) = linear_regression(t_1, log.(diff)) +a = round(a, digits=4) +b = round(b, digits=4) +plot!(t_1, exp.(a*t_1 .+ b), label="exp($a*t + $b)", lw=1, color=:red, linestyle=:dash) diff --git a/hw3/DrivenPendulum.jl b/hw3/DrivenPendulum.jl index 8fe6a14..53a1af9 100644 --- a/hw3/DrivenPendulum.jl +++ b/hw3/DrivenPendulum.jl @@ -6,27 +6,27 @@ using Plots # for plotting trajectory using DifferentialEquations # for solving ODEs ω0 = 1.0 # ω0^2 = g/l -β = 0.0001 # β = friction -f = 0.5 # forcing amplitude -ω = 1.01 # forcing frequency +β = 0.5 # β = friction +f = 1.2 # forcing amplitude +ω = .66667 # forcing frequency param = (ω0, β, f, ω) # parameters of anharmonic oscillator function tendency!(dθp::Vector{Float64}, θp::Vector{Float64}, param, t::Float64) (θ, p) = θp # 2d phase space + (dθ, dp) = dθp # 2d phase space derviatives (ω0, β, f, ω) = param - a = -ω0^2 * sin(θ) - β * p + f * forcing(t, ω) # acceleration with m = 1 + a = -ω0^2 * sin(θ) - β * dθ + f * forcing(t, ω) # acceleration with m = 1 dθp[1] = p dθp[2] = a - end function forcing(t::Float64, ω::Float64) - return cos(ω * t) + return sin(ω * t) end @@ -43,10 +43,42 @@ function energy(θp::Vector{Float64}, param) end -θ0 = 0.0 # initial position in meters +# take a list and reduce theta to the interval [-π, π] +function clean_θ(θ::Vector{Float64}) + rθ = [] + for i in 1:length(θ) + tmp = θ[i] % (2 * π) + if tmp > π + tmp = tmp - 2 * π + elseif tmp < -π + tmp = tmp + 2 * π + end + push!(rθ, tmp) + end + return rθ +end + +function get_poincare_sections(sample_θ, sample_p, sample_t, Ω_d, ϵ::Float64, phase_shift=0.0::Float64) + n = 0 + + poincare_θ = [] + poincare_p = [] + + for i in 1:length(sample_θ) + if abs(sample_t[i] * Ω_d - (2 * π * n + phase_shift)) < ϵ / 2 + push!(poincare_θ, sample_θ[i]) + push!(poincare_p, sample_p[i]) + n += 1 + end + end + + return (poincare_θ, poincare_p) +end + +θ0 = 0.2 # initial position in meters p0 = 0.0 # initial velocity in m/s θp0 = [θ0, p0] # initial condition in phase space -t_final = 10000.0 # final time of simulation +t_final = 1000.0 # final time of simulation tspan = (0.0, t_final) # span of time to simulate @@ -62,9 +94,17 @@ println("Final energy = ", energy(sol[:, end], param)) (ω0, β, f, ω) = param # Plot of position vs. time -θt = plot(sample_times, [sol[1, :], f * forcing.(sample_times, ω)], xlabel = "t", ylabel = "θ(t)", legend = false, title = "θ vs. t") +# θt = plot(sample_times, [sol[1, :], f * forcing.(sample_times, ω)], xlabel = "t", ylabel = "θ(t)", legend = false, title = "θ vs. t") # Phase space plot -θp = plot(sin.(sol[1, :]), sol[2, :], xlabel = "θ", ylabel = "p", legend = false, title = "phase space") +cleaned = clean_θ(sol[1, :]) +θp = scatter(cleaned, sol[2, :], xlabel = "θ (radians)", ylabel = "ω (radians/s)", legend = false, title = "Phase Space Plot", mc=:black, ms=.35, ma=1) + + +# plot the poincare sections +(poincare_θ, pointcare_p) = get_poincare_sections(cleaned, sol[2, :], sol.t, ω, 0.1) +s1 = scatter(poincare_θ, pointcare_p, xlabel = "θ (radians)", ylabel = "ω (radians/s)", label="2nπ", title = "Poincare Sections", mc=:red, ms=2, ma=0.75) +s2 = scatter(get_poincare_sections(cleaned, sol[2, :], sol.t, ω, 0.1, π / 2.0), mc=:blue, ms=2, ma=0.75, label="2nπ + π/2", title="Poincare Sections", xlabel = "θ (radians)", ylabel = "ω (radians/s)", legend=:bottomleft) +s3 = scatter(get_poincare_sections(cleaned, sol[2, :], sol.t, ω, 0.1, π / 4.0), mc=:green, ms=2, ma=0.75, label="2nπ + π/4", title="Poincare Sections", xlabel = "θ (radians)", ylabel = "ω (radians/s)") -plot(θt, θp) \ No newline at end of file +plot(θp, s1, s2, s3) \ No newline at end of file diff --git a/hw3/Lorenz.jl b/hw3/Lorenz.jl index 0144c92..c4c501d 100644 --- a/hw3/Lorenz.jl +++ b/hw3/Lorenz.jl @@ -1,8 +1,13 @@ using DifferentialEquations using Plots -# Simulate Lorenz 63 system and investigate sensitivity to initial conditions +r_max = 160 +r_steps = 320 + +sim_time = 1000.0 +# STEP 1, go over each value of r and store the results +# Simulate Lorenz 63 system and investigate sensitivity to initial conditions function tendency!(du, u, p, t) x,y,z = u σ,ρ,β = p @@ -12,21 +17,51 @@ function tendency!(du, u, p, t) du[3] = dz = x*y - β*z end -p = [10.0, 28.0, 8/3] # parameters of the Lorentz 63 system -tspan = (0.0, 1000.0) -u0 = [1.0, 0.0, 0.0] -δu0 = [0.0, 0.001, 0.0] # small deviation in initial condition +# make a linspace for these values of r +r_values = range(0, r_max, length=r_steps) +sols = [] +for i in 1:r_steps + r = r_values[i] + p = [10.0, r, 8/3] # parameters of the Lorentz 63 system + tspan = (0.0, sim_time) -prob = ODEProblem(tendency!, u0, tspan, p) -sol1 = solve(prob, Tsit5(), reltol=1e-8, abstol=1e-8) # control simulation + u0 = [1.0, 0.0, 0.0] + prob = ODEProblem(tendency!, u0, tspan, p) + sol = solve(prob, Tsit5(), reltol=1e-8, abstol=1e-8) # control simulation + push!(sols, sol) -prob = ODEProblem(tendency!, u0 + δu0, tspan, p) -sol2 = solve(prob, Tsit5(), reltol=1e-8, abstol=1e-8) # perturbed initial condition + println("r=$r") +end + +# STEP 2, map data to arrays where plane crosses the x-axis +r_maxes = [] +z_maxes = [] +r_mins = [] +z_mins = [] +for i in 1:r_steps + println("i: ", length(sols[i].t)) + z_values = sols[i][3, :] + # iterate over to find the local maxima and minima + # take off the first 300 values to avoid transient + for j in 301:length(z_values)-1 + if z_values[j] > z_values[j-1] && z_values[j] > z_values[j+1] + push!(r_maxes, r_values[i]) + push!(z_maxes, z_values[j]) + end + if z_values[j] < z_values[j-1] && z_values[j] < z_values[j+1] + push!(r_mins, r_values[i]) + push!(z_mins, z_values[j]) + end + end +end -plot(sol1, idxs = (1, 2, 3)) # 3d plot +# println("r_maxes: ", r_maxes) +# println("z_maxes: ", z_maxes) -# plot(sol1, idxs = (1, 2)) +# STEP 3, plot the bifurcation diagram +plot(r_maxes, z_maxes, seriestype = :scatter, mc=:blue, ms=.25, ma=0.25, label="Maxima") +plot!(r_mins, z_mins, seriestype = :scatter, mc=:green, ms=.25, ma=0.25, label="Minima") -plot([sol1[1, :], sol2[1, :]], [sol1[2, :], sol2[2, :]]) \ No newline at end of file +savefig("hw3/test3.png") \ No newline at end of file diff --git a/hw3/d-theta-over-time.svg b/hw3/d-theta-over-time.svg new file mode 100644 index 0000000..b1ddf01 --- /dev/null +++ b/hw3/d-theta-over-time.svg @@ -0,0 +1,45 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \ No newline at end of file diff --git a/hw3/poincare-sections.svg b/hw3/poincare-sections.svg new file mode 100644 index 0000000..b02b7b9 --- /dev/null +++ b/hw3/poincare-sections.svg @@ -0,0 +1,62900 @@ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 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+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + \ No newline at end of file diff --git a/hw3/t.jl b/hw3/t.jl new file mode 100644 index 0000000..307d532 --- /dev/null +++ b/hw3/t.jl @@ -0,0 +1,81 @@ +#!/Applications/Julia-1.8.app/Contents/Resources/julia/bin/julia + +# Simulate driven pendulum to find chaotic regime + +using Plots # for plotting trajectory +using DifferentialEquations # for solving ODEs + +ω0 = 1.0 # ω0^2 = g/l +β = 0.5 # β = friction +f = 1.2 # forcing amplitude +ω = .66667 # forcing frequency +param = (ω0, β, f, ω) # parameters of anharmonic oscillator + +function tendency!(dθp::Vector{Float64}, θp::Vector{Float64}, param, t::Float64) + + (θ, p) = θp # 2d phase space + (dθ, dp) = dθp # 2d phase space derviatives + + (ω0, β, f, ω) = param + + a = -ω0^2 * sin(θ) - β * dθ + f * forcing(t, ω) # acceleration with m = 1 + + dθp[1] = p + dθp[2] = a +end + +function forcing(t::Float64, ω::Float64) + + return sin(ω * t) + +end + +function energy(θp::Vector{Float64}, param) + + (θ, p) = θp + + (ω0, β, f, ω) = param + + pe = ω0^2 * (1.0 - cos(θ)) + ke = 0.5 * p^2 + + return pe + ke + +end + +θ0 = 0.2 # initial position in meters +p0 = 0.0 # initial velocity in m/s +θp0 = [θ0, p0] # initial condition in phase space +t_final = 150.0 # final time of simulation + +tspan = (0.0, t_final) # span of time to simulate + +prob1 = ODEProblem(tendency!, θp0, tspan, param) # specify ODE +sol1 = solve(prob1, Tsit5(), reltol=1e-12, abstol=1e-12) # solve using Tsit5 algorithm to specified accuracy + +# do second prlblem with different initial conditions +θ0 = 0.2001 # initial position in meters +θp0 = [θ0, p0] # initial condition in phase space +prob2 = ODEProblem(tendency!, θp0, tspan, param) # specify ODE +sol2 = solve(prob2, Tsit5(), reltol=1e-12, abstol=1e-12) # solve using Tsit5 algorithm to specified accuracy + +function interpolate_Δθ(sol1, sol2) + Δθ = [] + # find the time steps that are common to both solutions + common_times = range(0.00, stop=t_final, length=1000) + for t in common_times + # find the two time indices that are closest to t + i1 = argmin(abs.(sol1.t .- t)) + i2 = argmin(abs.(sol2.t .- t)) + push!(Δθ, abs(sol1[1, i1] - sol2[1, i2])) + end + + return common_times, log.(Δθ) +end + +(ω0, β, f, ω) = param + +# Plot of position vs. time +# θt = plot(sample_times, [sol[1, :], f * forcing.(sample_times, ω)], xlabel = "t", ylabel = "θ(t)", legend = false, title = "θ vs. t") + +plot(interpolate_Δθ(sol1, sol2), xlabel = "t", ylabel = "Δθ(t)", legend = false, title = "Δθ vs. t") \ No newline at end of file diff --git a/hw3/test.png b/hw3/test.png new file mode 100644 index 0000000..a270505 Binary files /dev/null and b/hw3/test.png differ diff --git a/hw3/test2.png b/hw3/test2.png new file mode 100644 index 0000000..d6d0697 Binary files /dev/null and b/hw3/test2.png differ -- cgit v1.2.3-70-g09d2